De la aritmética primaria al álgebra secundaria

Como hemos estado viendo en mis artículos anteriores, el proceso de “enseñanza-aprendizaje” es primeramente un “proceso de comunicación” en el cual participan por lo menos tres (3) lenguajes: el lenguaje español, el lenguaje aritmético y el lenguaje corporal. Y en cuanto lenguaje, hay una componente básica para su exteriorización, esta es, la componente “Pragmática”, esta es, la componente de la “utilidad”.

¿Para qué pudiera ser útil la Aritmética” 

Es obvio que dentro de las ramas de la “Matemática” la utilidad de la aritmética se ve en el paso y desarrollo del “álgebra”, de las “estructuras algebraicas”, de las “funciones polinomiales”, del “cálculo diferencial e integral”, de los “sistemas de ecuaciones”, etc.

Y dentro de otros campos del saber, la utilidad de la aritmética se ve en “Física”, en la “Química”, en la “Biología”, en la “Psicología”, etc.

Sin hablar del “Lenguaje Algebraico” solamente mostraremos algunos aspectos de la conexión de la “Aritmética de la Primaria” con el “Álgebra de la Secundaria”. Posteriormente, en el siguiente artículo, hablaremos del lenguaje algebraico y de su “necesidad” de trascender el “Campo de los números Reales”

Los “Componentes” objetos de la Aritmética son los Números Reales y las Operaciones de Adición, Sustracción, Multiplicación y División.

El componente Morfo-Sintáctico del Lenguaje Aritmético es el que define las formas de relacionarse de los números reales en cada una de las operaciones y las reglas o la gramática de la Aritmética.

Exploremos algunas relaciones.

Pongamos un número, bien sea el 7. Multipliquémoslo por 2. Después lo dividimos entre 2. ¿Cuánto tenemos?

¿Cuál es el número que al sumársele 6 resulta 10? Etc.

¿Por qué es importante este tipo de razonamiento aritmético?

Porque de aquí se pasa a un objeto del álgebra, al objeto “Incógnita”    

En el primer caso, sea “x” la incógnita. 2x/2=x

En el segundo caso, x + 6 = 10

Estos dos ejemplos que deberían de abordarse en los dos primeros años de la primaria, sirven para abordar varias reglas y algunos axiomas aritméticos.

En la suma, el número “0” es un elemento neutro, es decir que la suma del 0 a un número cualquiera es igual al número. No se altera.

En la multiplicación, el número “1” es un elemento neuro, es decir que la multiplicación por 1 de cualquier número es igual al número. No se altera.

En las operaciones ( + ) y ( X ) suma y multiplicación, cada número diferente del 0 tiene su contrario:

En la suma ( + ) el contrario de 2 es (-2), el contrario de 3 es (-3), etc.

En la multiplicación ( X ) el contrario de 2 es ½, el contrario de 3 es 1/3 etc.

La suma de dos números contrarios es igual a su neutro, esto es, 0

En la multiplicación el producto de dos contrarios es igual a su neutro, esto es 1

En la Aritmética, o sea, en la Morfo Sintaxis del Lenguaje aritmético, se permiten la conmutación de dos números, la asociación de dos números y la distribución de las dos operaciones, multiplicación y suma. Y además, en una igualdad, si se suma o se multiplica un número a ambos lados de la igualdad, la igualdad no se altera. 

Pero, ¿Por qué hay que mostrar y enseñar en la Primaria estas reglas, objetos y relaciones morfo-sintácticos?

Primero porque son propias del Lenguaje Aritmético. Si no se enseñan así, simplemente no se está enseñando el Lenguaje Aritmético. Y eso es precisamente lo que sucede en las Escuelas Primarias. No se está enseñando el Lenguaje Aritmético.

¿Cómo debiera ser la enseñanza de la solución de ( x + 6 = 10 ) donde ( x ) es el número perdido?

Sea ( x + 6 = 10 ) Si a ambos lados de la igualdad le sumo el contrario aditivo del número 6, entonces se obtendría: x + 6 – 6 = 10 – 6

En el primer miembro de la igualdad, como la suma de dos contrarios es su neuro aditivo, o sea el 0, se tendría x + 0

Y en el segundo miembro de la igualdad, 10 – 6 = 4.

Por lo tanto resulta la expresión, ( x + 0 = 4 )

Y como el cero, ( 0 ) es neuro aditivo, ( x + 0 = x ) Y por lo tanto ( x = 4)

De hecho, al cambiarle de nombre al “número perdido” por variable, estamos enseñando desde primero y segundo año de primaria álgebra aditiva. 

Los contrarios multiplicativos se empiezan a enseñar en tercer año de primaria.

Y de esta forma se puede enseñar en segundo año de primaria la existencia de los números negativos y la recta de los números enteros. Y con esa recta se deja de mentir que no existen los números negativos y se amplían la comprensión de la adición.

Con los contrarios multiplicativos en tercer año se estaría entrando a las operaciones con números racionales, lo que permitiría desprenderse un poco de la sujeción de la enseñanza de los quebrados como partes del pastel, de la naranja, etc. Que más que ayudar, distorsionan el Lenguaje Aritmético.

Yo estoy seguro de que el magisterio no ha sido enseñado en las Normales del saber matemático, y por eso, no ha sido crítico con los planes y programas de la enseñanza de la Aritmética.

Esperemos que, con la Secretaría de Ciencia y Tecnología, la SEP se retroalimente del saber científico y modifique los planea y programas de estudio de la Educación Básica, la Educación Media y la Educación Superior.